Đề thi vào 10 chuyên Toán-Tin năm học 2017-2018

Môn: Toán (Chuyên Toán-Tin)
Ngày thi: 4/6/2017
Thời gian làm bài: 150 phút
 

Bài 1 (2,0 điểm):

1. Thu gọn biểu thức: P=1/(√2−√3)(√3√2−2√3)/(3√2+2√3)

2. Cho A=1.2.3...2015.2016.(1+1/2+1/3+...+1/2015+1/2016)
   Chứng tỏ rằng A là số tự nhiên chia hết cho 2017.

Bài 2 (2,0 điểm):

1. Cho đa thức P(x)=2x^2+bx+c. Tìm các hệ số b, c biết rằng P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x=1.

2. Giải phương trình: √(2−x)+√(2+x)=√(4−x^2)=2

Bài 3 (1,0 điểm):

Cho các số x, y, z thoả x^2+4y^2+z^2=4xy+5x−10y+2z−5.
Chứng minh rằng 1 ≤ x - 2y ≤4.

Bài 4 (4,0 điểm):

Cho đường tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A', B', C'. Gọi các giao điểm của đường tròn (C) với các đoạn thẳng IA, IB, IC lần lượt tại M, N, P.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy.

b) Tia AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (D khác A).

Chứng minh rằng IB.IC/ID=2r, trong đó r là bán kính của đường tròn (C).

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hai số dương x và y thoả mãn đẳng thức 2017/x+2018/y=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y.